操作方法
教学目的： 1.理解并掌握任意角三角函数的定义. 2.理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学重点：任意角三角函数的 定义. 教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析：通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解.www.baijialekeji.com通过对定义的剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻的认识，达到突破难点之目的. 使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解. 教学过程： 一、复习引入： 1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数: 2.前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数. 二、讲解新课： 对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究. 1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y） 则P与原点的距离 2．比值叫做的正弦记作： 比值叫做的余弦记作： 比值叫做的正切 记作： 比值叫做的余切记作： 比值叫做的正割记作： 比值叫做的余割记作： 根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述六个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；当角的终边在横轴上时，即＝ｋπ（ｋ∈Z）时，终边上任意一点P的纵坐标ｙ都为0，所以cot、csc无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 以上六种函数，统称为三角函数. 3.突出探究的几个问题： ①角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用 ③三角函数是以“比值”为函数值的函数 ④而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. ⑤定义域：对于正弦函数，因为ｒ＞0，所以恒有意义，即取任意实数，恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数，因为x＝0时，无意义，即tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是.从而有 4.注意: (1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合. (2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的. (3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样. (4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关. (5)比值只与角的大小有关. (6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. 即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离， 正切函数值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标. (7)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆. 三、讲解范例： 例1已知角的终边经过点P(2，－3)(如图)，求的六个三角函数值. 解：∵x＝2，ｙ＝－3 ∴ 于是 例2求下列各角的六个三角函数值. (1)0 (2)π (3) (4) 解：(1)因为当＝0时，x＝ｒ，ｙ＝0，所以 sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0不存在 sec0=1 csc0不存在 (2)因为当＝π时，x＝－ｒ，ｙ＝0，所以 sinπ＝0 cosπ＝－1 tanπ＝0 cotπ不存在 secπ＝－1 cscπ不存在 (3)因为当时，x＝0，ｙ＝－ｒ，所以 不存在 不存在 (4)当a=时 ,所以 sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0 sec不存在 csc=1 例3填表： a 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 例4 ⑴ 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值 ⑵已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a¹0)求2sina+cosa的值 解：⑴由定义 ： sina=- cosa=∴2sina+cosa=- ⑵若则sina=- cosa=∴2sina+cosa=- 若则sina= cosa=-∴2sina+cosa= 例5求函数的值域 解： 定义域：cosx¹0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx¹0 ∴x的终边不在y轴上 当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 当x是第Ⅱ象限角时,|cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2 当x是第Ⅲ象限角时, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0 当x是第Ⅳ象限角时, |cosx|=cosx |tanx|=-tanx ∴y=0 四、课堂练习： 1.若点P(－3，ｙ)是角α终边上一点，且，则ｙ的值是.答案： 2.角的终边上一个点P的坐标为(5a,-12a)(a≠0)，求sin+2cos的值. 解：依题意得：x=5a,y=-12a, ∴ (1)当a>0时，角α是第四象限角，则 , ∴sin+2cos=-; (2)当a<0时，角是第二象限角，则 . ∴cos+2cos=. 五、小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到. 六、课后作业：课本 P习题 已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，–2）(x≠0)，且，求sinθ和tanθ的值. 分析：，又，即ｒx＝3x 由于x≠0，∴ｒ＝3 ∴x2＋4＝9 x2＝5，x＝±. 当x＝时，P点的坐标是（，－2）. 当x＝－时，P点的坐标是（－，－2） . 答案：当x=时， 当x=–时， 七.课后记: 课题：4.3 任意角的三角函数（二） 教学目的： 1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号. 2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等 教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y） 则P与原点的距离 2.比值叫做的正弦记作： 比值叫做的余弦记作： 比值叫做的正切记作： 比值叫做的余切记作： 比值叫做的正割记作： 比值叫做的余割记作： 以上六种函数，统称为三角函数. 3.突出探究的几个问题： ①角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用 ③三角函数是以“比值”为函数值的函数 ④而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. ⑤定义域： R R 4.注意: (1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合. (2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的. (3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样. (4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关. (5)比值只与角的大小有关. 二、讲解新课： 1. 三角函数在各象限内的符号规律： 第一象限： ∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 第二象限： ∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 第三象限： ∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 第四象限： ∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 记忆法则： 第一象限全为正,二正三切四余弦. 为正全正 为正为正 2.终边相同的角的同一三角函数值相等 例如390°和-330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即 sin390°=sin30° cos390°=cos30° sin(-330°)=sin30°cos(-330°)=cos30° 诱导公式一（其中）:用弧度制可写成 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 三、讲解范例： 例1确定下列三角函数值的符号 (1)cos250° （2）（3）tan（－672°） (4) 解：(1)∵250°是第三象限角∴cos250°＜0 (2)∵是第四象限角，∴ (3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48° 而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0 (4) 而是第四象限角，∴. 例2求证角θ为第三象限角的充分必要条件是 证明：必要性：∵θ是第三象限角， ∴ 充分性：∵sinθ＜0， ∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上 ∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角. ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立. ∴θ为第三象限角. 例3 求下列三角函数的值 (1)sin1480°10′ (2)（3）. 解:(1)sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°） ＝Sin40°10′＝0.6451 (2) (3) 例4求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°) +cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tg(360°+135°)． =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tg135° =-1=0 四、课堂练习： 1.确定下列各式的符号 (1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5 分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号. 解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角. ∴sin100°＞0,cos240°＜0,于是有sin100°·cos240°＜0. (2)∵∴5是第四象限的角 ∴sin5＜0,tan5＜0,于是有sin5+tan5＜0. 2. .x取什么值时,有意义? 分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零. 解:由题意得解得: 即: 所以,当时，有意义. 3．若三角形的两内角a，b满足sinacosb0，则此三角形必为……（B） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能 4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（B） A：sina+cosa0 B：tana-sina0 C：cosa-cota0 D：cotacsca0 5．已知q是第三象限角且，问是第几象限角？ 解：∵ ∴则是第二或第四象限角 又∵则是第二或第三象限角 ∴必为第二象限角 6．已知，则q为第几象限角？ 解：由∴sin2q0 ∴2kp2q2kp+p∴kpqkp+ ∴q为第一或第三象限角 五、小结本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础. 六、课后作业： 1.确定下列三角函数值符号： 2.化简. 解法一：(定义法) 设点P(x,y)是角α终边上的一点，且|OP|=r,则将sinα=,cosα=,tanα=,cotα=代入得： 原式= 解法二：(化弦法) 原式= 解法三：(换元法) 设cos2α=a,则sin2α=1-a,tan2α=,代入得 原式 评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想. 七、板书设计（略） 八、课后记： 已知sin3α+cos3α=1,求下列各式的值： (1)sinα+cosα；(2)sin4α+cos4α 分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于sinα+cosα的方程，然后求解. (1)解法一：∵(sinα+cosα)3 =sin3α+3sin2αcosα+3sinαcos2α+cos3α =(sin3α+cos3α)+3(1-cos2α)cosα+3(1-sin2α)sinα =1+3cosα-3cos3α+3sinα-3sin3α =1+3(sinα+cosα)-3(sin3α+cos3α) =3(sinα+cosα)-2. ∴(sinα+cosα)3-3(sinα+cosα)+2=0. 令sinα+cosα=t,则t3-3t+2=0(t-1)2(t+2)=0. ∴t=1或t=-2 即sinα+cosα=1或sinα+cosα=-2(舍去). 解法二：∵sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=(sinα+cosα)(1-sinαcosα). ∴(sinα+cosα)(1-sinαcosα)=1. 注意到sinαcosα可用sinα+cosα表示，并令sinα+cosα=t,则sinαcosα=,故上式化为t(1-)=1t3-3t+2=0.(下同解法一). (2)解：∵sinα+cosα=1，∴(sinα+cosα)2=1sinαcosα=0. 故sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α=1. 评注：对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.