MATLAB教学视频：详解数据拟合的MATLAB实现（非线性拟合）
教学内容 1. 拟合残差及残差平方和 2. 人口增长模型 2.1 人口指数增长模型——Malthus 模型 2.2 人口阻滞增长模型——Logistics 模型 3. MATLAB实现非线性拟合——lsqcurvefit 4. 寻优算法——局部最优解 5. 拟合效果的评价 6. 土壤含水率问题的分析 7. 结束语——拟合问题总结
拟合残差及残差平方和 1. 残差：已知的测量点到拟合曲线 y = f(x) 的距离，即拟合值(估计值) 与测量值(观察值) 之差 2. 残差平方和：即残差的平方和：拟合值(估计值) 与测量值(观察值) 之差的平方和 3. 回顾线性拟合教学视频：拟合的定义：求解y = f(x) 里的待定参数，使得残差平方和最小
人口指数增长模型—— Malthus 模型 人口阻滞增长模型—— Logistics 模型
案例一：人口预测问题 1. 根据Logistics人口模型：待定参数：r & ym 2. 方程个数(10) 大于未知数个数(2)：拟合问题：非线性拟合问题
MATLAB实现非线性拟合——lsqcurvefit 调用格式——lsqcurvefit(least-squares curve-fitting) 1. 最简单的格式：param=lsqcurvefit(fun, param0, xdata, ydata) 2. 为了便于理解，将help 里的 x / x0 使用param/ param0 替换
使用lsqcurvefit 实现非线性拟合的基本步骤 1. 给定已知的数据 (x, y) 以及x y 之间满足的函数关系 y = f(x) 1.1 确定 y = f(x) 中的待定参数 param = [r, ym] 1.2 定义拟合函数 y = f(x) ： function y = curvefun (param, x) 1.3 给定参数的初值param0：调用lsqcurvefit 求解 2. 计算拟合残差/ 残差平方和 3. 执行结果：得到了局部最小值，lsqcurvefit内部迭代结束(收敛) 4. 拟合的定义 / 目标：残差平方和最小 5. 局部最小值：残差平方和局部最小
寻优算法——局部最优解 1. 拟合问题：寻找参数：残差平方和最小 2. 不同的初值：可能得到不同的局部最优解 3. 不合理的初值：可能导致求解失败
拟合效果的评价 1. 不同的参数初值：可能会得到不同的局部最优解 2. 引发两个基本问题 2.1 哪个局部的最优解好？ 2.2 局部最优解(拟合数据) 与测量数据的“匹配度”如何？ 3. 评价指标 3.1 横向比较不同的局部最优解：拟合的定义是使得残差平方和最小：直接比较resnorm 3.2 拟合数据与测量数据的“匹配度” 3.2.1 计算测量数据与拟合数据之间的标准均方根误差(NRMSE)：越接近1 越好 3.2.2 计算测量数据与拟合数据之间的标准均方误差(NMSE)：越接近1 越好 3.2.3 MATLAB 实现：系统辨识工具箱里的goodnessOfFit函数
MATLAB实现非线性拟合——lsqcurvefit 高级调用格式——更多输入设置/ 输出信息 [param, resnorm, residual, exitflag, output] = lsqcurvefit(fun, param0, xdata, ydata, lb, ub, options)
案例二：土壤含水率问题 参考文献：彭建平，邵爱军. 用MATLAB确定土壤水分特征曲线参数[J]. 土壤(Soils), 2007, 39 (3)
结束语——拟合问题总结 1. 拟合问题：能转化成线性拟合问题的，绝不使用非线性拟合 1.1 线性拟合 1.1.1 通用方法：求解线性超定方程组 1.1.2 求解线性拟合问题，无需给出参数的初值，算法稳定可靠：全局最优解 1.2 非线性拟合 1.2.1 MATLAB函数：lsqcurvefit/ lsqnonlin/ nlinfit/ fsolve：局部最优解 1.2.2 拟合问题：也可以转化成优化问题：MATLAB 的优化函数求解 1.2.3 求解非线性拟合问题，需要给出待定参数的初值，可能会出现迭代不收敛 2. 初值的选取 2.1 根据函数的形式，使用一部分数据，预估参数的值人口模型的分析 2.2 根据参数的物理意义和建模所用的专业知识，合理确定参数的范围：土壤含水率问题