操作方法
给定三阶方阵A： A={{a,b,c},{d,e,f},{p,q,r}}
开始一步一步的进行行约简： 先把第一行的第一个数字变成1，也就是用初等矩阵u来左乘A： u = {{1/a, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};
让第二行第一个数字变成0： 把第三行乘以-d/p，加到第二行上； 这个过程对应的初等矩阵是： v=I+(-d/p)*e_(2,3) = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} + {{0, 0, 0}, {0, 0, -d/p}, {0, 0, 0}};
再把第一行乘以-p，加到第三行上；对应的初等矩阵是： w=I+(-p)*e_(3,1) = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} + {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {-p, 0, 0}};
再把第三行第二个元素变成0： 第二行乘以-(p (-b p + a q))/(a (e p - d q))，加到第三行上； 对应的初等矩阵是—— x=I+(-(p (-b p + a q))/(a (e p - d q)))*e_(3,2) ={{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} + {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, -(p (-b p + a q))/(a (e p - d q)), 0}}; 注意看，此时的x.(w.(v.(u.A)))是上三角矩阵。
把第三行的第三个元素变成1： 也就是左乘矩阵初等矩阵y—— y={{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, (a (e p - d q))/(p (-c e p + b f p + c d q - a f q - b d r + a e r))}}
把第二行第三个元素变成0： 第三行乘以(-f+(d r)/p)，加到第二行上就可以了。
再把第二行的第二个元素变成1： 左乘m， m = {{1, 0, 0}, {0, -(p/(-e p + d q)), 0}, {0, 0, 1}};
把第一行第二个元素变成0，就是用第二行乘以(-b/a)，加到第一行； 把第一行第三个元素变成0，就是用第三行乘以(-c/a)，加到第一行。 最后得到的o.(n.(m.(z.(y.(x.(w.(v.(u.A))))))))就是单位矩阵。
这样，o.(n.(m.(z.(y.(x.(w.(v.u)))))))就是A的逆矩阵。 反过来，假设u的逆矩阵是u'，那么u'也是初等矩阵，所以，A可以写成： u'.v'.w'.x'.y'.z'.m'.n'.o' 而初等矩阵的逆矩阵是很容易求出的。