高等数学入门——带皮亚诺余项的泰勒公式

概述。 泰勒公式是初学高等数学时不易掌握的内容之一，但这部分内容又很重要，本节我们从最基础的内容讲起，看看形式复杂的泰勒公式是怎样一步步推导出来的。

一个实际问题：如何求一般函数的值？ 三角函数是我们自高中起就比较熟悉的一类函数，我们熟悉三角函数的各种性质和公式，但除一些特殊角（例如π,π/2,π/6等）外，我们完全不知道一般角度的sin或cos值是如何能“简便地”计算出来。当然需要时我们可以按计算器或查表得到三角函数值，但这些数据是如何得来的呢？（表格需要人来编写，计算器的计算程序需要人来设计。） 另一个例子是对数函数lnx，由微分及等价无穷小等知识，我们知道当|x|很小时，有ln(1+x)≈x，这就把对数运算转化为计算多项式函数的值，后者显然容易得多。我们希望有一种系统的方法，能将各种复杂函数转化为多项式函数，并估计它们之间的误差。

引入泰勒公式的理论意义。

导出泰勒公式的思路概述。

泰勒公式的推导过程。

泰勒中值定理（带皮亚诺余项的形式）。

对上述定理的一些说明。

附录：泰勒中值定理1的证明。