操作方法
在《怎么计算二项式系数》里面，我介绍了二项式系数的函数表示——Binomial，也就是组合数，这是Mathematica的内置函数，可以直接使用： Binomial[n, k] + Binomial[n, k + 1] // TraditionalForm
验证一下二项式展开定理： Sum[Binomial[n, k], {k, 0, n}] // HoldForm // TraditionalForm
下面验证一个组合恒等式： Sum[Binomial[n, k]^2, {k, 0, n}]
化简Sum[k^2 Binomial[n, k] a^k b^(n - k), {k, 0, n}]，其实直接运行就可以。
这个呢？ Sum[(-1)^k Binomial[n, k] Binomial[k, m], {k, m, n}]
其实，化简的结果还是挺简单的： Sum[(-1)^k Binomial[n, k] Binomial[k, m], {k, m, n}] // HoldForm // TraditionalForm 答案是：(-1)^n δ[m, n]，右边是KroneckerDelta函数。
这个比较复杂： Sum[(-1)^(k - 1) Binomial[2 n, k]^(-1), {k, 1, 2 n - 1}] 化简结果是： ((-1)^(2 n)+1)/(2 (n+1)) 因为n是正整数，所以，(-1)^(2 n)=1，((-1)^(2 n)+1)/(2 (n+1))=1/(n+1)。