简介
非线性最小二乘优化在曲线拟合、参数估计等问题中有着广泛的应用。例如，我们要拟合一系列观测数据（t,y),拟合函数为F（t,x),他是x的非线性函数。对于这种最小二乘曲线拟合问题，可以通过Matalb优化工具箱中的lsqcurvefit命令求解，可以根据实际问题进行曲线拟合。
例题
在工程实验中，测得下面一组数据。求系数a、b、c、d,使得函数为表中数据的最佳拟合函数。 f(t)=a+b·sin(t)+c·cos(t)+dt3
观测数据表
—————————————————————————————————— t | 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 —————————————————————————————————— y | 0 3.4 4.1 4.6 5.9 6.9 8.1 9.8 11 ——————————————————————————————————
操作方法
首先建立拟合函数M文件如下：
function f=example8_15(x,ti) n=length(ti); for i=1:n f(i)=x(1)+x(2)*sin(ti(i))+x(3)*cos(ti(i))+x(4)*ti(i)^3; end
从命令窗口输入
>> ti=[0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4]; >> yi=[0 3.4 4.1 4.6 5.9 6.9 8.1 9.8 11]; >> x0=[1 1 1 1]'; %初始点选为全1向量 >> [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,J]=lsqcurvefit(@example8_15,x0,ti,yi)
输出结果为
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Optimization completed because the size of the gradient is less than the default value of the function tolerance. <stopping criteria details> x = 1.8706 2.7714 -1.0477 0.1708 resnorm = 2.9080 residual = Columns 1 through 7 0.8228 -1.0989 -0.2927 0.5373 0.2929 0.1372 -0.1897 Columns 8 through 9 -0.5977 0.3887 exitflag = 1 output = firstorderopt: 6.6428e-08 iterations: 2 funcCount: 15 cgiterations: 0 algorithm: 'trust-region-reflective' message: [1x425 char] lambda = lower: [4x1 double] upper: [4x1 double] J = (1,1) 1.0000 (2,1) 1.0000 (3,1) 1.0000 (4,1) 1.0000 (5,1) 1.0000 (6,1) 1.0000 (7,1) 1.0000 (8,1) 1.0000 (9,1) 1.0000 (2,2) 0.4794 (3,2) 0.8415 (4,2) 0.9975 (5,2) 0.9093 (6,2) 0.5985 (7,2) 0.1411 (8,2) -0.3508 (9,2) -0.7568 (1,3) 1.0000 (2,3) 0.8776 (3,3) 0.5403 (4,3) 0.0707 (5,3) -0.4161 (6,3) -0.8011 (7,3) -0.9900 (8,3) -0.9365 (9,3) -0.6536 (2,4) 0.1250 (3,4) 1.0000 (4,4) 3.3750 (5,4) 8.0000 (6,4) 15.6250 (7,4) 27.0000 (8,4) 42.8750 (9,4) 64.0000 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
再在命令窗口中输入：
>> xi=0:0.1:4; >> y=example8_15(x,xi); >> plot(ti,yi,'r*') >> grid on >> hold on >> plot(xi,y) >> legend('观测数据点','拟合曲线') >> title('最小二乘曲线拟合')
输出结果如下图所示：