线性方程租的解法(非齐次方程和齐次方程)

我们先了解什么是齐次和非齐次： 类似于： a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2, ................ am1x1+am2x2+...amnxn=bm,(数字均为下标) 中，如果b1,b2,b3...bm不全为0，则该方程组为非齐次方程， 反之（全为0）为其次方程；

1.判断方程有没有解： 1)非齐次方程： 充要条件：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等； 设系数矩阵的秩为rA，增广矩阵的秩为rB，x阶数为n 则有rA=rB=n时，方程组有唯一的解， 当rA=rB<n时，方程有无穷解。

现在我们来详细讨论（要求读者自行掌握矩阵消元法）： 1)齐次方程解法： 例如：(注意x后面的数字是角标) x1+x2-3x4-x5=0, x1-x2+2x3-x4=0, 4x1-2x2+6x3+3x4-4x5=0, 2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=0 我们先把系数提取出来记得x的角标对应着位置： x1+x2-3x4-x5=0提出后应该是：1   1   0(x3不存在，意味着系数为0)   -3   -1 同理得其他系数： A=1    1    0   -3   -1 1   -1    2   -1    0 4   -2    6    3   -4 2    4    -2   4   -7 变换过后可得 1     1    0     -3     -1 0     2   -2     -2     -1 0     0    0      3      -1 0      0    0     0       0 在根据该变换系数写出对应的方程组 x1+x2-3x4-x5=0(该处的x3系数为0，不用写出来) 2x2-2x4-2x4-x5=0, 3x4-x5=0 这里开始，要选参数进行解题（不要问为什么这样，这是‘百年’来的成果总结的经验= =） 我们看到这三个方程组的第一个x项分别为（x1,x2,x4），将它们作为未知量，故选取x3,x5(非第一项的x项)为参数，作为参数的表面意思是将他们移到右边。 既有： x1+x2-3x4=x5' 2x2-2x4=x5'+2x3' 3x4=x5'(加 ' 的原因是区别于原来的x项，原来的x项是作为未知量存在的) 又到一个重点了（别问为什么，这样解比较方便，前人总结的经验，记住就好）

2）非齐次方程组的解法： 类似于上题，为了节约你的眼睛资源，我就简单说一下 假设 x1+x2-3x4-x5=a, x1-x2+2x3-x4=b, 4x1-2x2+6x3+3x4-4x5=c, 2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=d

即 x1+x2-3x4-x5=A， 2x2-2x3-2x4-x5=B, 3x4-x5=C 重点来了： 与齐次方程不同，这里要先求出特解，而特解一般保留的未知量是第一个x项数！！ 这里即保留 x1，x2，x4    （x3，x5设为0） 所以原方程可化为 x1+x2-3x4=A, 2x2-2x4=B, 3x4=C,

还没有完！！！这只是特解！还要求基础解系 在这里我们要把右边的数全部变为0，即 A=1    1    0   -3   -1 1   -1    2   -1    0 4   -2    6    3   -4 2    4    -2   4   -7 就和齐次方程一样了，不多说（和上题一样的解法），我们可解得： X1=（-1,1,1,0,0）,X2=(7/6, 5/6, 0, 1/3, 1) 所以方程通解为 X=特解+基础解系 =（A+2/3C-1/2B,  1/3C+1/2B,  0,  C,  0）+k1（-1,1,1,0,0）+k2(7/6, 5/6, 0, 1/3, 1)