操作方法
△ABC的内心为I，内切圆与三边切于D、E、F，那么： AE=AF，BD=BF，CD=CE
设三角形的三边程度分别是a、b、c，那么： BD=BF=(a+c-b)/2
线段的比例： BD:CD=(a+c-b):(a+b-c)=cot(B/2):cot(C/2) 进而，得到一个三角恒等式： (sinA+sinC-sinB):(sinA+sinB-sinC)=cot(B/2):cot(C/2)
设P是BC的中点，D关于P的对称点是D1，那么： AB+BD1=AC+CD1 也就是说，AD1平分△ABC的周长。
设Q是BA中点，R是AB中点； 用上面的方法，同样可以构造出△ABC的周长平分线BE1和CF1。
三角形的三条周长平分线共点，这个点称为△ABC的界心，标记为J。
设G为△ABC的重心，那么，I、G、J三点共线，且JG=2*IG。
由此可知， △ABC和△PQR关于G透视对应，对应关系是： A、B、C对应P、Q、R， I对应J， 直线AJ对应直线PI。 所以，直线PI是△PQR的周长平分线。
设PI与QR交于T，那么：A、T、D共线。
S(BCI):S(CAI):S(ABI)=a:b:c=sinA:sinB:sinC 这样可以求出I相对于△ABC的重心坐标是(sinA:sinB:sinC)。
直角三角形的内心
△BAC中，AK⊥BC于K，I、M、N分别是△ABC、ABK、ACK的内心，ID⊥BC于D，AK交PQ于T。 求证：四边形DNTM是正方形。
设△ABC的三边长分别是a、b、c， 那么，容易算出： BM:MQ=PN:NC=PT:TQ=(a*c+c^2):(a*b+b^2)
BD:DC=(a+c-b):(a+b-c) 要证明DNTM是正方形，可以先间接证明： DN//MT//BP DM//NT//CQ 这就需要证明(a+c-b):(a+b-c)=(a*c+c^2):(a*b+b^2) 因为a^2=b^2+c^2，所以容易证明上式成立。
再证明DM=DN。 因为DM=BD*CQ/BC，DN=CD*BP/BC， 所以，转而证明：BD:BP=CD:CQ 而这一点是比较容易的了。