变限积分的连续性和可微性
定理一 若 f 可积，则变限积分是连续的。 我们只要证明函数增量趋近于零即可：对任意的 x 属于区间 [a,b]
因为 f 有界，所以可设
同理，当增量小于零也类似，所以最终得到：
所以函数在点 x 连续，由于 x 的任意性，所以函数在整个区间连续。
定理二 若 f 连续，则变限积分是处处可导的。 按照导数的定义，可知：
由积分中值定理，存在一点 z ，使得：
这个定理又叫原函数存在定理，沟通了导数和定积分两个概念，更重要的是以积分形式给出了 f 的一个原函数。
复合变限积分
对于复合变限积分，显然是一种特殊的复合函数，我们只要使用复合函数的求导法，就能轻松的求出这三个积分。
对于最复杂的第三个，这种积分会经常遇到，一定要熟练使用：
比如下面这个积分，要3秒钟写出导数。把上下限分别带入被积函数，然后记得乘以上下限的导数。
积分号下的变限积分
这类问题有些时候看起来很复杂，因为有很多个积分变量，并且有些积分求不出原函数，但是只要看清楚积分的形式。
使用分部积分法，把复杂的积分放在微分号后面，问题就很简单了。