二次三项式分解因式，也有简便计算的技巧、窍门

配方法，就是增加常数，与二次项、一次项，组合成一个完全平方，原来的常数项也变成一个负的平方数，这样得到了平方差，就可以用平方差公式，进行因式分解了。 想想完全平方公式 ( a ± b )" = a" ± 2ab + b" ，具体式子 ( x ± 1 )" = x" ± 2x + 1 ， ( x ± 2 )" = x" ± 4x + 4 ， ( x ± 3 )" = x" ± 6x + 9 ， 就像不进位的 11" = 121 ，12" = 144 ，13" = 169 …… 做配方，就要首先熟悉各种完全平方式。

第一步先看看，二次项系数是 1 ，一次项系数是偶数的式子，配方做起来也最方便了。 例如， x" + 10x - 24 = x" + 2X( 5x ) + 5" - 25 - 24 = ( x + 5 )" - 49 = ( x + 5 )" - 7" = ( x + 5 - 7 )( x + 5 + 7 ) = ( x - 2 )( x + 12 ) 或者 x" + 10x + 24 = x" + 10x + 25 - 1 = ( x + 5 )" - 1" = ( x + 5 - 1 )( x + 5 + 1 ) = ( x + 4 )( x + 6 ) 这样，a = 1， b = 2n，式子 x" + 2nx + c 配方就是 = x" + 2nx + n" - n" + c = ( x + n )" - n" + c

如果二次项系数不是 1 ，一次项系数也不是偶数，而是奇数，这样又怎么办呢？ 看吧， 8x" + 52x + 60 = 4( 2x" + 13x + 15 ) 这样，可以先提取二次项系数，变成 1 ， = 8[ x" + (13/2)x + (13/4)" - 169/16 + (60/8) ] = 8[ ( x + 13/4 )" - 49/16 ] = 8( x + 13/4 + 7/4 )( x + 13/4 - 7/4 ) = 8( x + 20/4 )( x + 6/4 ) = 4( x + 5 )( 2x + 3 ) 或者， 8x" + 52x + 60 也可以让二次项系数变成平方数，做起来又有好处 = (1/2)( 16x" + 104x + 120 ) = (1/2)[ (4x)" + 26(4x) + (13)" - 169 + 120 ] = (1/2)[ ( 4x + 13 )" - 49 ] = (1/2)( 4x + 13 + 7 )( 4x + 13 - 7 ) = (1/2)( 4x + 20 )( 4x + 6 ) = 4( x + 5 )( 2x + 3 ) 这样就看到，配方并非一定要一次项系数是偶数。如果学过推导一元二次方程的求根公式，就会看到许多种二次项、一次项的系数都能配方。

如果说，配方没有得到平方差，只是得到负数，是不是就不能分解因式呢？其实，只要扩大数值范围，就可以加上根号，又得到平方差，在实数范围也同样能够分解因式。 x" - 6x + 7 = x" - 6x + 3" - 9 + 7 = ( x - 3 )" - 2 = ( x - 3 )" - (√2)" = ( x - 3 - √2 )( x - 3 + √2 )

如果扩大到复数范围，就连常数项变成正数，配方得到的是平方和，也还是可以分解因式。 x" + 6x + 10 = x" + 6x + 3" - 9 + 10 = ( x + 3 )" + 1 = ( x + 3 )" - (-1) = ( x + 3 - i )( x + 3 + i )

其实，只要改变数字范围，分解因式就是不同结果， 所以说，分解因式的结果并非固定不变。 看吧 x^4 - 4 有理数范围 = (x")" - 2" = ( x" + 2 )( x" - 2 ) 实数范围 = ( x" + 2 )[ x" - (√2)" ] = ( x" + 2 )( x + √2 )( x - √2 ) 复数范围 = [ x" - (-2) ]( x + √2 )( x - √2 ) = [ x + (√2)i ][ x - (√2)i ]( x + √2 )( x - √2 ) 这样的平方差分解因式，也是相当典型的例子。

前面的配方法，就是把完全平方与平方差的公式倒过来使用。 拆项分组分解也一样，整式相乘的公式 ( x + a )( x + b ) = x" + ( a + b )x + ab 倒过来使用，就要先把一次项一分为二，然后就可以分组，提取公因式，进行分解了。 关键就看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二： 【】如果常数项是正数，一次项的绝对值，就是拆开两项绝对值的和， 或者说，拆开两项的绝对值，就都比原来小； 【】如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的相差数， 或者说，拆开两项的绝对值，比起原来就一大一小。

一次项怎样一分为二，为什么要根据常数项的正负呢？ 前面我们分解了 x" + 10x + 24 和 x" + 10x - 24，其实，这只是式子 x" ± 10x ± 24 的两种情况。这个二次三项式相当特别，一次项、常数项，都有正负两种情况。一次项、常数项的绝对值不变，整个式子就有四种情况，具体的四个式子都能做因式分解。 只要把具体的四个式子都做一遍，我们就会发现： 【】常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变； 【】一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式。 这样，就当然要根据常数项，决定一次项怎样一分为二了。

具体四个式子分解因式之前，我们不妨按照四个象限坐标的顺序，先把式子全部列举出来。 第一象限（正，正），x" + 10x + 24 ， 第二象限（负，正），x" - 10x + 24 ， 第三象限（负，负），x" - 10x - 24 ， 第四象限（正，负），x" + 10x - 24 ； 接下来我们就通过这几个例子，使用拆项分组分解法，一个一个探索奥秘。

x" + 10x + 24 常数项是正数，一次项一分为二就要变成两个小的， = x" + 4x + 6x + 24 = x( x + 4 ) + 6( x + 4 ) = ( x + 4 )( x + 6 ) 或者 = x" + 6x + 4x + 24 = x( x + 6 ) + 4( x + 6 ) = ( x + 4 )( x + 6 )

x" - 10x + 24 常数项 +24 不变，一次项 10x 变成相反数，一分为二的绝对值还是 4x 与 6x ， = x" - 4x - 6x + 24 = x( x - 4 ) - 6( x - 4 ) = ( x - 4 )( x - 6 ) 或者 = x" - 6x - 4x + 24 = x( x - 6 ) - 4( x - 6 ) = ( x - 4 )( x - 6 )

x" - 10x - 24 常数项是负数，一次项一分为二就比原来一大一小， = x" - 12x + 2x - 24 = x( x - 12 ) + 2( x - 12 ) = ( x + 2 )( x - 12 ) 或者 = x" + 2x - 12x - 24 = x( x + 2 ) - 12( x + 2 ) = ( x + 2 )( x - 12 )

x" + 10x - 24 常数项 -24 不变，一次项 -10x 变成相反数，一分为二的绝对值还是 12x 与 2x， = x" + 12x - 2x - 24 = x( x + 12 ) - 2( x + 12 ) = ( x - 2 )( x + 12 ) 或者 = x" - 2x + 12x - 24 = x( x - 2 ) + 12( x - 2 ) = ( x - 2 )( x + 12 )

其实，这个 x" ± 10x ± 24 也正好是 x" ± 5xy ± 6y" 当中，y = 2 的一个情况，这个式子千变万化，还有更多情况。 如果说，x" ± 5xy ± 6y" 的二次项系数是 1，我们不需要这样拆项分组分解；真正困难的式子，二次项系数不是 1。别着急，首先找到规律，打好基础，才能更上一层楼。

拆项分组分解因式，一次项怎样一分为二，学到了吗？ 【】如果常数项是正数，一次项的绝对值，就是拆开两项绝对值的和， 或者说，拆开两项的绝对值，就都比原来小； 【】如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的相差数， 或者说，拆开两项的绝对值，比起原来就一大一小。 下面我们就增加难度，前面配方法分解的 8x" + 52x + 60 ，二次项系数不是 1 ，其实它也是式子 8x" ± 52x ± 60 四种情况中的一种，这个式子也是四种情况都能分解因式。

8x" + 52x + 60 既然常数项是正数，一次项就要拆开两个小的， = 8x" + 40x + 12x + 60 = 8x( x + 5 ) + 12( x + 5 ) = ( x + 5 )( 8x + 12 ) = 4( x + 5 )( 2x + 3 ) 或者 = 8x" + 12x + 40x + 60 = 4x( 2x + 3 ) + 20( 2x + 3 ) = ( 4x + 20 )( 2x + 3 ) = 4( x + 5 )( 2x + 3 )

8x" - 52x + 60 常数项还是 +60，一次项就还是拆开 12x 和 40x， = 8x" - 40x - 12x + 60 = 8x( x - 5 ) - 12( x - 5 ) = ( x - 5 )( 8x - 12 ) = 4( x - 5 )( 2x - 3 ) 或者 = 8x" - 12x - 40x + 60 = 4x( 2x - 3 ) - 20( 2x - 3 ) = ( 4x - 20 )( 2x - 3 ) = 4( x - 5 )( 2x - 3 )

8x" - 52x - 60 既然常数项是负数，一次项就要变成相差数， = 8x" + 8x - 60x - 60 = 8x( x + 1 ) - 60( x + 1 ) = ( x + 1 )( 8x - 60 ) = 4( x + 1 )( 2x - 15 ) 或者 = 8x" - 60x + 8x - 60 = 4x( 2x - 15 ) + 4( 2x - 15 ) = ( 4x + 4 )( 2x - 15 ) = 4( x + 1 )( 2x - 15 )

8x" + 52x - 60 常数项还是 -60，一次项就还是拆开 8x 和 60x， = 8x" - 8x + 60x - 60 = 8x( x - 1 ) + 60( x - 1 ) = ( x - 1 )( 8x + 60 ) = 4( x - 1 )( 2x + 15 ) 或者 = 8x" + 60x - 8x - 60 = 4x( 2x + 15 ) - 4( 2x + 15 ) = ( 4x - 4 )( 2x + 15 ) = 4( x - 1 )( 2x + 15 )

同样，这个 8x" ± 52x ± 60 也正是式子 8x" ± 26xy ± 15y" 当中 y = 2 的情况，这个千变万化的式子，也同样有更多情况。 像这样，二次项系数不是 1 的式子，也更能够说明问题，更能够反映规律，新方法用起来也更能够感受到好处。 道理很简单，因为二次项系数不是 1，就不仅常数项是乘积，还有二次项系数也是乘积，十字相乘很可能看得不知从何下手。相比之下，拆项分组分解因式，还是有根有据，一步一步地操作。这样比起不知所措，感觉当然就方便轻松多了。

分解因式简便计算的技巧、窍门，我们得到了吗？自己也赶快试试看吧！ 这两个核心的二次三项式，就是 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y"， 我们只要根据这两个核心的式子，就能够把其他绝对值都记住，多取几个具体式子都分解因式练一练，这个技巧、窍门就掌握熟悉了。

这两个 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y" 的式子千变万化，如果 x 和 y 分别取整数 1 到 6 ，就会得到 24 种绝对值的式子，每一种绝对值正负又都有四个具体式子，这样就得到 96 个式子，有些绝对值还能够提取公约数化简，就又得到其他绝对值的式子，这样也正好适合那些需要几十道、上百道练习题的朋友们。 下面为了方便大家核对，我就把 24 种与更多的绝对值都全部列举出来。

x" ± 5x ± 6 ， x" ± 10x ± 24 ， x" ± 15x ± 54 ， x" ± 20x ± 96 ， x" ± 25x ± 150 ， x" ± 30x ± 216 ， …… 其实，它们都是 x" ± 5xy ± 6y" 当中，y 取具体数值得到的； 这个式子千变万化，如果 x 取具体数值，还有 6x" ± 5x ± 1 ， 6x" ± 10x ± 4 = 2( 3x" ± 5x ± 2 ) ， 6x" ± 15x ± 9 = 3( 2x" ± 5x ± 3 ) ， 6x" ± 20x ± 16 = 2( 3x" ± 10x ± 8 ) ， 6x" ± 25x ± 25 ， 6x" ± 30x ± 36 = 6( x" ± 5x ± 6 ) ， …… 或者说，正如 6x" ± 30x ± 36 = 6( x" ± 5x ± 6 )， 对三个绝对值提出公约数，就又回到了 x" ± 5x ± 6 ； 倒过来，如果对这些式子的三个绝对值都乘以相同的倍数，得到的式子就更多了。

8x" ± 26x ± 15 ， 8x" ± 52x ± 60 = 4( 2x" ± 13x ± 15 ) ， 8x" ± 78x ± 135 ， 8x" ± 104x ± 240 = 8( x" ± 13x ± 30 ) ， 8x" ± 130x ± 375 ， 8x" ± 156x ± 540 = 4( 2x" ± 39x ± 135 ) ， …… 这些绝对值也都是 8x" ± 26xy ± 15y" 当中，y 取具体数值得到的； 这个千变万化的式子，如果 x 取具体数值，还有 15x" ± 26x ± 8 ， 15x" ± 52x ± 32 ， 15x" ± 78x ± 72 = 3( 5x" ± 26x ± 24 ) ， 15x" ± 104x ± 128 ， 15x" ± 130x ± 200 = 5( 3x" ± 26x ± 40 )， 15x" ± 156x ± 288 = 3( 5x" ± 52x ± 96 )， …… 其实，这些绝对值还只是 x 或 y 单独取值，式子就已经这么多了，假如 x 和 y 一同取值，肯定就会得到更多的绝对值和式子。

这么多的二次三项式，分解因式的结果其实都有关系。 这两个核心的 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y"，我们都已经各做了其中一个绝对值的四个式子，其余式子的答案又是什么样，我们就不用列举了吧。 相信大家自己开动脑筋，分解因式的结果，自己做出来也更有收获，胜利感也更强。

想一想，是不是只有 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y" 的绝对值，式子才是正负都能够分解因式呢？其实，在配方法的最后，我们已经看到，只要改变数字范围，就连平方和也能够变成平方差，就能够分解因式了。 看吧， x" + 4 = x" - (-4) 来到复数范围 = x" - ( 2i )" = ( x - 2i )( x + 2i ) 这就说明，或者任何绝对值的式子，正负值也都能够分解因式，只是说，一般的式子，如果变成了相反数，分解因式就要改变数字范围。 正确的说法，这两个 x" ± 5xy ± 6y" 和 8x" ± 26xy ± 15y" 奇特绝对值的式子，是正负都能够在整数范围分解因式；一般的式子，不改变数字范围就办不到了。