题目
已知实数a、b、c满足a+b+c=1，求证：a²+b²+c²≥1/3
方法1：直接利用基本不等式
首先，由题意可以联想到基本不等式：a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac。 将上式相加会得到新条件：a²+b²+c²≥ab+bc+ac。 即：
那么，看到a²+b²+c²这样的式子，我们显然会想到完全平方公式——（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac。 既然知道上式中的一部分大于等于某个值，那么，我们就可以联立二式，得到（a+b+c）²≥3ab+3bc+3ac。 又因为a+b+c=1，那么ab+bc+ac≤1/3。 即：
从上一步可以看出，我们要证明的式子中的a²+b²+c²，必然会和ab+bc+ac有关，所以对此式进行处理：-2（ab+bc+ac）≥-2/3。 那么问题就很简单了，只要把（a+b+c）²展开并代入条件就可以得证了。 即：
方法2：巧妙利用基本不等式
通过观察可以由a、b、c这3个数及1/3联想到1/9，这时再利用基本不等式把字母和数字的关系找出来：a²+1/9≥2/3a，b²+1/9≥2/3b，c²+1/9≥2/3c。 将上式相加，再代入a+b+c=1就得证了。 即：
方法3：均值换元法
首先由已知条件a+b+c=1想到要引入新参数t，写出t符合的条件（t1+t2+t3=0）后，把要证的a²+b²+c²用含t的式子表示出来：a²+b²+c²=（a+t1）²+（b+t2）²+（c+t3）² 即：
然后根据完全平方公式展开含t的式子，就可以得证。 即：
注： 分析t1+t2+t3=0可知： t1、t2、t3均为0时，三数平方和最小，为0； 另外的三种情况下t1、t2、t3的平方和都不为0而是正数——1个为0、另外两个互为相反数；1个为负数、另外2个为正数；1个为正数、另外2个为负数。 综上：t1²+t2²+t3²≥0