3阶以内的矩阵求逆矩阵的3种手算方法

首先，我们来看如何使用待定系数法，求矩阵的逆。 举例： 矩阵A= 1 2 -1 -3

假设所求的逆矩阵为 a b c d 则

从而可以得出方程组 a+2c=1 b+2d=0 -a-3c=0 -b-3d=1 解得 a=3 b=2 c=-1 d=-1

所以A的逆矩阵A⁻¹= 3 2 -1 -1

伴随矩阵是矩阵元素所对应的代数余子式，所构成的矩阵，转置后得到的新矩阵。 我们先求出伴随矩阵A*= -3 -2 1 1

接下来，求出矩阵A的行列式 |A| =1*(-3)-(-1)*2 =-3+2 =-1

从而逆矩阵A⁻¹=A*/|A| = A*/(-1)=-A*= 3 2 -1 -1

下面我们介绍如何通过初等(行)变换来求逆矩阵。 首先，写出增广矩阵A|E，即矩阵A右侧放置一个同阶的单位矩阵，得到一个新矩阵。 1  2  1  0 -1 -3  0  1

然后进行初等行变换。依次进行 第1行加到第2行，得到 1  2  1  0 0 -1  1  1 第2行×2加到第1行，得到 1  0  3  2 0 -1  1  1 第2行×(-1)，得到 1  0  3  2 0  1 -1 -1

因此逆矩阵A⁻¹= 3 2 -1 -1